Készülj időben a matek érettségire!
www.logikaifeladatok.hu

5. témakör: derékszögű háromszögek

Nyomtatás:


Kidolgozott feladatok:

1.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 7 cm. Mekkora a területe, kerülete, mekkorák a szögei és mekkora az átfogóhoz tartozó magassága?

Megoldás:
A derékszögű háromszögek adatainak szokásos jelölése az ábrán látható. A két befogót a és b jelöli, az átfogót c. a oldallal szemközt az A csúcs és az alfa szög található, b oldallal szemben a B csúcs és a béta szög, c oldallal szemben a C csúcs és a gamma szög, vagyis maga a derékszög van.
Ha egy derékszögű háromszögben két oldal ismert, akkor a harmadik kiszámolható a Pitagorasz tétellel (két befogó négyzetének összege = az átfogó négyzetével, vagyis a2+b2=c2). Nálunk a=5 cm, és c=7 cm ismert, ebből a b oldal kiszámolható: 52+b2=72, azaz 25+b2=49, ebből b2=24, b=gyök(24)=4,9 cm.
A háromszög kerülete a három oldal összege, azaz K=a+b+c=5+4,9+7=16,9 cm.
A terület derékszögű háromszög esetén kiszámolható úgy, hogy a két befogót összeszorozzuk és osztjuk kettővel. Azaz T=a*b/2=5*4,9/2=12,25 cm2. Ezenkívül úgy is kiszámolható, hogy az átfogót szorozzuk a hozzá tartozó magassággal (m) és osztjuk kettővel, azaz T=c*m/2. Ebbe a képletbe helyettesítve 12,25=7*m/2, amiből m=3,5 cm.
A szögeket az ismert szinusz, koszinusz, tangens összefüggések bármelyikével számolhatjuk. Például egy hegyesszög szinusza derékszögű háromszögben megegyezik a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosával. Azaz sin(alfa)=a/c, vagyis sin(alfa)=5/7=0,71. Ebből alfa számológéppel határozható meg a sin-1(0,71) módszerrel (a számológép legyen DEG módban). Tehát alfa=45,23 fok. (Koszinuszt hasonlóan használhattuk volna, csak ott a szög melletti befogót kell osztani az átfogóval, a tangesnél pedig a szöggel szemközti befogót a szög melletti befogóval.) A harmadik szög egyszerűen meghatározható abból, hogy a háromszög három szögének összege 180 fok. Eddig kettő ismert 90+45,23=135,23. Béta=180-135,23=44,77 fok.


2.) Egy derékszögű háromszög egyik szöge 40 fokos, az egyik befogója 8 egység. Mekkora a kerülete, területe, mekkora az átfogóhoz tartozó magassága?

1. Megoldás:
Legyen a=8 egység, és a alfa=40 fok. (A második megoldásban a béta lesz 40 fok.) Béta=180-40-90=50 fok. Az előbb említett összefüggésekkel sin(40 fok)=8/c, ebből 0,64=8/c, 0,64c=8, c=12,5 egység. A másik befogó kiszámolható a Pitagorasz tétel segítségével az előbbihez hasonló módon: b=9,6 egység. Szintén hasonlóan adódik a többi adat: K=30,1 egység, T=38,4 területegység, m=6,14 egység. 2. Megoldás:
Legyen a=8 egység, és a béta=40 fok. Alfa=180-40-90=50 fok. Az előbb említett összefüggésekkel cos(40 fok)=8/c, ebből 0,77=8/c, 0,77c=8, c=10,39 egység. A másik befogó kiszámolható a Pitagorasz tétel segítségével az előbbihez hasonló módon: b=6,63 egység. Szintén hasonlóan adódik a többi adat: K=25,02 egység, T=26,52 területegység, m=5,1 egység.


3.) Egy magas fa árnyéka 15 méter. Az árnyék végpontjából a fa teteje 70 fokos emelkedési szögben látszik. Milyen magas a fa, illetve meddig tartana az árnyék végpontjából a fa tetejére repülni egy 5 m/s sebességgel repülő légynek a legrövidebb úton?

Megoldás:
A feladat ábrázolásához megfelel az első feladatban rajztolt ábra. a=15 méter, béta=70 fok. Most tangenst használva tg(béta)=b/a, azaz tg(70)=b/15, amiből b=41,21 méter adódik, vagyis a fa magassága 41,21 méter.
A legrövidebb út két pont között az egyenes, ezért az A és B csúcs közti távolságot, vagyis az átfogót kell kiszámolnunk. Ezt Pitagorasz tétellel tesszük, azaz c=gyök(225+1698,26)=43,86 méter. Ha 1 másodperc alatt 5 métert tesz meg, akkor ezt a távolságot 43,86/5=8,77 másodperc alatt teszi meg a légy.


Gyakorló feladatok:

1.) Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és 12 cm. Mekkora az átfogó, kerület, a terület és mekkorák a szögek?

2.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 9 cm, a vele szemközti szöge 30 fok. Mekkora az átfogó, kerület, a terület és mekkorák a szögek?

3.) Egy derékszögű háromszög átfogója 15 m, az egyik szöge 30 fok. Mekkorák a befogók, kerület, a terület és mekkorák a szögek?

4.) Egy focilabda milyen messze repült a játékos lábától, aki megrúgta, ha egy 12 méter magas fa tetején landolt, ami a játékostól 20 méterre van? Milyen emelkedési szögben indult el a labda?

5.) Milyen magas az a torony, amelynek árnyéka 8 méter, és egy 3 m/s-mal repülő madárnak az árnyék-torony csúcsától 1 percig tart a torony csúcsára repülni. Milyen szögben érkeznek a földre a Nap sugarai?

6.) Egy 15 méter és egy 24 méter magas fa egymástól 12 méterre van. Milyen messze vannak egymástól a fák csúcsai?

7.) Egy egyenlőszárú hármszög alapja 5 cm, a szárai 7 cm-esek. Mekkorák a szögei, mekkora a magassága és a területe?

8.) Egy kétlábú létrán 17 cm-enként van egy lépcsőfok. Ha a létrát szétnyitjuk, akkor 1,3 méter magas lesz és a lábai 0,8 m-re lesznek egymástól. Hány fok van ezen a létrán? (A legtetején már nincs fok és a legalján sem!)

9.) Egy egyenlő szárú trapéz alapjai 7 és 12 cm-esek. A szárai 35 fokot zárnak be az alappal. Mekkorák a szögei, mekkora a szára és mekkora a területe?

10.)Egy derékszögű trapéz rövidebb alapja 10 cm, hosszabb alapja 15 cm. A derékszögnél levő szára megegyezik a rövidebb alappal. Mekkorák a másik szár és mekkora szöget zár be az alappal?


Megoldások:

1.) c=15 cm; K=36 cm; T=54 cm2$; alfa=36,87 fok; béta=53,23 fok;

2.) c=18 cm; K=42,59 cm; T=70,15 cm2; béta=60 fok;

3.) a=7,5 cm; b=13 cm; K=35,5 cm; T=48,75 cm2; alfa=60 fok;

4.) 23,3 m; 31 fok;

5.) 18,3 m; 66,4 fok;

6.) 15 m;

7.) alfa=béta=69 fok; gamma=42 fok; m=6,54 cm; T=16,35 m2;

8.) 7 létrafok;

9.) alfa=145 fok; szára=3,1 cm; T=17,41 cm2

10.) 11,18 cm, 63,43 fok;