1.) Keressük meg a 144 és a 180 legnagyobb közös osztóját (lnko) és legkisebb közös többszörösét (lkkt)!
Megoldás:
Keressük meg a 144 és a 180 prímtényezős felbontását: (addig osztjuk prímszámokkal a számot, amíg "el nem fogy", azaz meg nem érkezünk az 1-hez)
144|2
180|2
72|2
90|2
36|2
45|3
18|2
15|3
9|3
5|5
3|3
1|
1|
így azt kaptuk, hogy a 144=2*2*2*2*3*3=24*32, illetve 180=2*2*3*3*5=22*32
*5.
A legnagyobb közös osztót (azt a lehető legnagyobb pozitív számot, amely osztója a 144-nek és a 180-nak is) úgy határozzuk meg, hogy a közös prímtényezők közül a kisebb hatványon levőket összezorozzuk.
Tehát (144,180)=22*32=36 lesz a két szám legnagyobb közös osztója (a 144-ben négyszer, a 180-ban ötször van meg).
A legkisebb közös többszöröst (azt a lehető legkisebb pozitív számot, amelyben a 144 és a 180 is maradék nélkül megvan) úgy határozzuk meg, hogy a közös prímtényezők közül a nagyobb hatványon levőket és a nem közös prímtényezőket összeszorozzuk.
Tehát [144,180]=24*32*5=720 lesz a két szám legkisebb közös többszöröse (720-ban a 144 ötször, a 180 négyszer van meg).
2.) Egy autóversenyen a piros autó 132 másodperc alatt, a kék autó 120 másodperc alatt tesz meg egy kört. Legközelebb a rajt után hány másoperc múlva lesznek ismét egymás mellett a start vonalnál?
Megoldás:
A kék autó tehát gyorsabb, hamarabb tesz meg egy kört. Mire ismét együtt lesznek a start vonalnál, azalatt a kék autó több egész kört tesz meg, mint a piros. Eddig annyiszor 120 másodperc, illetve a piros autó köreinek száma *132 másodperc telik el. Azaz olyan idő telik el, amelyben a 120 és a 132 is maradék nélkül megvan. A legkisebb ilyen szám kell, vagyis keressük a 120 és a 132 legkisebb közös többszörösét!
A fenti módszerrel:
120|2
132|2
60|2
66|2
30|2
33|3
15|3
11|11
5|5
1|
1|
Azaz 120=23*3*5; 132=22*3*11, ebből [120,132]=23*3*5*11=1320. Tehát 1320 másoperc múlva lesznek együtt ismét a startvonalnál. (Ezalatt a kék autó 11, a piros autó 10 kört fog megtenni.)
3.) Egy csapat bandita egy kincsesládát zsákmányol, amelyben 72 arany, 48 ezüst és 100 gyémánt ékszer van. Igazságosan tudták elosztani egymás között a zsákmányt (egyforma számú ékszert kapott minden tag aranyból is, ezüstből is, gyémántból is). Legfeljebb hányan lehettek a banditák?
Megoldás:
Minhárom fajtát pontosan el tudták osztani egymás között, vagyis egy olyan számot keresünk, amellyel a 72, 48 és a 100 is osztható. ezek közül is a legnagyobbat, vagyis a legnagyobb közös osztót.
Az előbb említett módzserrel kapjuk, hogy 72=23*32, 48=24*3, 100=22*52. Innen (72,48,100)=22=4. Tehát 4-en voltak a banditák, mert a 4 az a legnagyobb szám, amivel osztható a 72, a 100 és a 48 is. (Az aranyból mindenki 18 ékszert, az ezüstből 12 ékszert, a gyémántből 25 ékszert kap.)
Gyakorló feladatok:
1.) Rómeó minden 18. napon, Júlia minden 30. napon megy ki sétálni a ligetbe. Január 1-jén éppen találkoztak. Hány nap múlva futnak ismét össze?
2.) Autóbuszok indulnak a végállomásról észak felé 12, dél felé 15 percenként. Reggel 8.20 perckor éppen egyszerre indulnak. Mikor fognak legközelebb ismét egyszerre indulni?
3.) Hozzuk egy lépésben a lehető legegyszerűbb alakra a törtet: 438/126!
4.) Hozzuk egy lépésben a lehető legegyszerűbb alakra a törtet: 1985/4764!
5.) Végezzük el a műveleteket: 3/11 + 2/7 - 5/14
6.) Végezzük el a műveleteket: 5/28 - 7/16 + 4/45
7.) Egy 250 literes hordóból bort és egy 180 literes hordóból szörpöt szállításhoz kisebb edényekbe adagoljuk. Hány literes (egyforma) edényeket válasszunk, ha a lehető legkevesebbet szeretnénk felhasználni, minden edényt tele öntünk, és természetesen nem keverjük a kétféle italt?
8.) Egy inga lengési ideje 20 másodperc, egy másiké 24 másodperc. Egyszerre indítjuk a két ingát. Hány másodperc múlva lesze a két inga legkorábabn ismét ugyanebben az állapotban?
Megoldások:
1.) 90 nap múlva.
2.) 9.20 perckor.
3.) 6- tal tudunk egyszerüsíteni, 73/21 a megoldás.
4.) 397-tel tudunk egyszerüsíteni, 5/12 a megoldás.
5.) 31/238.
6.) -857/5040
7.) 10 literes edényeket
8.) 120 másodperc múlva.
