1.) Egy mértani sorozat első tagja 10, a hányadosa pedig 2. Állapítsuk meg a sorozat 8. tagját, és az első 8 tag összegét!
Megoldás:
A mértani sorozatok közös tulajdonsága, hogy az egymás után következő számok hányadosa állandó. A mi sorozatunknál az első tag (a1) 10, a hányados (q) 2, emiatt a következő tag ennek a kétszerese, azaz 20; majd 40; 80; 160; 320 ....
Egy mértani sorozat tetszőleges (n.) elemét a úgy tudjuk kiszámolni, hogy az első tagot megszorozzuk a hányadossal 1-gyel kevesebbszer (an=a1*q(n-1)). Azaz a8=a1*q7, vagyis a8=10*27=10*128=1280. Tehát a sorozat 8. tagja 1280.
Az első 8 tag összegét az Sn=a1*(qn-1)/(q-1) képlettel számolhatjuk, azaz S8=10*(28-1)/(2-1)=2550. Tehát az első 8 tag összege 2550.
2.) Egy mértani sorozat 3. tagja 50, 5. tagja pedig 1250. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege?
Megoldás:
a3=50, a5=1250. Mivel a3 felírható a1*q2 alakban, ezért az első összefüggés a1*q2=50 formára hozható. Hasonlóan a második a1*q4=1250 formára. A második egyenletet az elsővel elosztva, a1-gyel és q2-nal egyszerűsítve kapjuk, hogy q2=25, amiből két megoldást is kapunk, q=+5 és q=-5-öt. A hányados tehát kétféle lehet, +5 és -5. I. Először számoljunk q=+5-tel. Az első tagot megkapjuk, ha az első egyenletet használjuk: a1*52=50. Ekkor a1=2. Az első 7 tag összege ismét az Sn=a1*(qn-1)/(q-1) képlettel határozható meg. Ekkor S7=2*(57-1)(5-1)=39062, vagyis az első 7 tag összege 39062.
II. Ezután q=-5-tel kell végigszámolni a feladatot. Az első tagot megkapjuk, ha az első egyenletet használjuk: a1*(-5)2=50. Ekkor a1=2. Az első 7 tag összege ismét az Sn=a1*(qn-1)/(q-1) képlettel határozható meg. Ekkor S7=2*((-5)7-1)(-5-1)=26042, vagyis az első 7 tag összege 26042.
3.) Egy baktériumtenyészetben kezdetben volt 3 baktérium. A tenyészetben a baktériumok száma minden negyed órában megduplázódik. Hány baktérium lesz a tenyészetben 2 óra múlva?
Megoldás:
A mértani sorozat egy tagja legyen egy adott negyedórában levő baktériumok száma a tenyészetben. így a sorozat 1. tagja 3 (a1), a második a kétszerese (q=2), vagyis 6 (ennyi van negyed óra eltelte után), a harmadik megint a kétszerese, vagyis 12 (ennyi van 2 negyed óra eltelte után.) Két óra alatt 8 negyed óra telik el, azaz mi a sorozat 9. tagját keressük, azaz a9-et. Az an=a1*qn-1 képletet felhasználva a9=3*28=768. Tehát 2 óra múlva 768 baktérium lesz a tenyészetben.
Gyakorló feladatok:
1.) Egy mértani sorozat első tagja 7, a hányadosa -3. Mennyi az sorozat 7. eleme?
2.) Egy mértani sorozat első tagja -1, a hányadosa 2,5. Mennyi az első 10 tag összege?
3.) Egy mértani sorozat hatodik tagja 100, a 8. tagja 400. Mekkora a sorzat 2. tagja?
4.) Egy mértani sorozat harmadik tagja 80, a negyedik tagja -120. Mennyi az első 10 tag összege?
5.) Bankba helyezünk 50.000 Ft-ot évi 6,5 %-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva, ha közben a kamat nem változik, mi pedig nem nyúlunk a pénzhez?
6.) Egy érdekes könyvből első nap 16 oldalt olvasunk el, majd minden további napon 1,5-szer annyit, mint az előző nap. Hány oldalas a könyv, ha 5 nap alatt elolvassuk?
7.) Egy dolgozónak minden évben 4 %-kal emelik a fizetését. Mennyit kereshetett pályakezdőként, ha 10 éves munkaviszony után 180.000 Ft a fizetése?
8.) Egy baktériumtenyészetben minden nap megduplázódik a baktériumok száma. Kezdetben volt 1 baktérium. Hány nap múlva lesz 256 baktérium a tenyészetben?
9.) Mennyi pénzt helyezzünk el a bankban évi 7,2 %-os kamatos kamatra, ha 4 év múlva 70.000 Ft.ot szeretnénk felvenni?
10.) Egy dolgozó minden évben 5 %-os fizetésemelést kap. 3 éves munkaviszony után a keresete 140.000 Ft volt. Mennyit keresett ennél a cégnél az 5 éves munakviszonya alatt? (Havonta kap fizetést!)
