1.) Egy számtani sorozat első eleme -4, a differenciája 5. Állapítsuk meg a sorozat 20. tagját, és az első 20 tag összegét!
Megoldás:
A számtani sorozatok közös tulajdonsága, hogy az egymás után következő számok különbsége állandó. A mi sorozatunknál az első tag -4, amiatt a következő tag ennél 5-tel nagyobb, azaz +1; majd 6; 11; 16; 21 ....
Egy számtani sorozat tetszőleges (n.) elemét a úgy tudjuk kiszámolni, hogy az első taghoz hozzáadjuk a differenciát eggyel kevesebbszer (an=a1+(n-1)*d). Azaz a20=a1+(20-1)*d, vagyis a20=-4+19*5=91. Tehát a sorozat 20. tagja 91.
Az első 20 tag összegét az Sn=(a1+an)*n/2 képlettel számolhatjuk, azaz S20=(a1+a20)*20/2=(-4+91)*10=860. Tehát az első 20 tag összege 860.
2.) Egy számtani sorozat 5. tagja 25, 12. tagja pedig 95. Mennyi a sorozat első 15 tagjának összege?
Megoldás:
a5=25, a12=95. Mivel a5 felírható a1+4d alakban, ezért az első összefüggés a1+4d=25 formára hozható. Hasonlóan a második a1+11d=95 formára. A második egyenletből az első kivonva kapjuk, hogy 11d-4d=70, azaz 7d=70, amiből d=10. A differencia tehát 10. Az első tagot megkapjuk, ha az első egyenletet használjuk: a1+4*10=25. Ekkor a1=-15. Az első 15 tag összege ismét az Sn=(a1+an)*n/2 képlettel határozható meg, amihez először meg kell határoznunk a 15. tagot: a15=-15+14*10=125. Ekkor S15=(-15+125)*15/2=825, vagyis az első 15 tag összege 825.
3.) Egy színházi nézőtéren 560-an férnek el. A 10. sorban 45-en, és minden sorban 2-vel többen, mint az előtte levőben. Hány sor van a színházban?
Megoldás:
A sorozat álljon a színházi nézőtér soraiban található székek számából. A sorozat 10. tagja tehát 45, azaz a10=45. A sorozat differenciája d=2. A képlettel átírva a1+9d=45, azaz a1+9*2=45. Ebből a1=27. Tehát az első sorban 27-en ülnek. Úgy kapjuk meg, hogy hányan férnek el a színházban, hogy összeadjuk a sorokban levő székek számát. A székek száma sorban összeadva: 27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49=456, még nincs meg az 560-as létszám. Tovább 456+51+53=560, most találtuk meg. 14 számot adtunk össze, ez azt jelenti, hogy 14 sor van ebben a színházban.
Gyakorló feladatok:
1.) Egy számtani sorozat első tagja 7, a differenciája -4. Mennyi az sorozat 100. eleme?
2.) Egy számtani sorozat első tagja -1, a differenciája 7,5. Mennyi az első 100 tag összege?
3.) Egy számtani sorozat tizedik tagja 56, a 15. tagja 101. Mekkora a sorzat 2. tagja?
4.) Egy számtani sorozat hetedik tagja -6, a 10. tagja -27. Mennyi az első 10 tag összege?
5.) Egy 15 soros moziterem 4. sorában 12-en férnek el. Minden sorban 3-mal többen, mint az előtte levőben. Hányan férnek el a moziban?
6.) Egy érdekes könyvből első nap 8 oldalt olvasunk el, majd minden további napon 1,5 oldallal többet. Hány nap alatt olvassuk ki a 270 oldalas könyvet?
7.) Egy dolgozó 28 éves korában 78.000 Ft-ot keres. Minden évben kap 4000 Ft-os fizetésemelést. Mennyit fog keresni 40 éves korában?
8.) Egy könyvespolc legalsó polcán 30 könyv van. Minden további polcon 1-gyel kevesebb, mint az alatta levőn. Hány könyv van ebben a 8 polcos szekrényben?
9.) Egy 500.000 Ft összdíjazású versenyen az első 10 helyezettet jutalmazzák. András, aki a 6. helyen végzett, 48.000 Ft-ot kapott. A jutalmak egy számtani sorzatot alkotnak. Hány Ft-ot kapott az első helyezett?
10.) Egy biciklis 735 km-t szeretne megtenni. A 10. napon 45 km-t tesz meg, továbbá tudjuk, hogy minden nap 2 km-rel kevesebbet, mint az előzőben. Hány km-t tesz meg az utolsó napon?
Megoldások:
1.) a100=-389
2.) S100=37025
3.) a2=-16
4.) S10=40
5.) S15=360-an férnek el a moziban.
6.) 15 nap alatt olvassuk ki a könyvet.
7.) a13=126.000 Ft-ot fog keresni 40 éves korában.
